摘要：設(shè)計(jì)一款屈曲板型準(zhǔn)零剛度隔振器，該隔振器由豎直的橡膠墊和屈曲的彈簧鋼板組合而成.為便于分析該隔振器的剛度特性，基于Abaqus軟件分析和 Matlab擬合給出力與位移的近似表達(dá)式.通過理論分析，給出該系統(tǒng)出現(xiàn)準(zhǔn)零剛度時(shí)，豎直橡膠墊需滿足的剛度條件.依據(jù)諧波平衡法研究了阻尼對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，得到了系統(tǒng)的力傳遞率，并對(duì)其隔振性能進(jìn)行了評(píng)估.結(jié)果表明，屈曲板型準(zhǔn)零剛度隔振器能夠顯著提高低頻段的隔振效率;在適當(dāng)?shù)淖枘崆闆r下，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)沒有共振問題.

　　關(guān)鍵詞：工程師職稱評(píng)定論文,準(zhǔn)零剛度,屈曲板,振動(dòng)分析,低頻隔振

　　Design and Characteristic Analysis of a Buckling Plate

　　Vibration Isolator with Quasizerostiffness

　　XU Daolin，CHENG Chuanwang， ZHOU Jiaxi

　　(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha， Hunan410082， China)

　　Abstract：This paper presented the prototype of a buckling plate vibration isolator with the propitious characteristic of quasizero stiffness (QZS). The isolator was devised by combining a rubber pad with a buckling steel plate. To facilitate the analysis of the characteristics of the QZS isolator， an approximate expression of force and displacement was formulated on the basis of Abaqus analysis and Matlab tool. Analytical result reveals the stiffness criterion of the supporting rubber for the QZS system. The force transmissibility of the vibration isolation systems was derived in the harmonic balance method (HB)， and the effects of the damping were investigated for the performance evaluation of the systems. The results show that the QZS isolator can outperform the linear system in low frequency domain， and there is no involvement of resonance when damping is set properly.

　　Key words：quasizerostiffness(QZS);buckling of the plate;vibration analysis;lowfrequency vibration isolation

　　眾所周知，大多工程應(yīng)用上的產(chǎn)品都受到了振動(dòng)的破壞和影響[1].使用被動(dòng)的減振器是我們常采用的減振方法[2].減振系統(tǒng)發(fā)揮作用的前提條件是，外界的激擾頻率必須大于系統(tǒng)2倍固有頻率[1-2].由于隔振系統(tǒng)的固有頻率與彈簧的剛度成正比，所以彈簧的剛度越小，隔振系統(tǒng)的固有頻率也就越小，隔振頻帶被拓寬，但同時(shí)會(huì)帶來很大的靜位移，使得隔振系統(tǒng)容易不穩(wěn)定[3-4].近幾十年來，人們嘗試用一種QZS隔振系統(tǒng)來解決這個(gè)弊端[5].QZS系統(tǒng)具有較低的動(dòng)態(tài)剛度和較高的靜態(tài)剛度的特性，在靜平衡位置處的動(dòng)剛度為零[1-2，6]，滿足系統(tǒng)低的靜位移和低的固有頻率的特性.

　　實(shí)現(xiàn)QZS 特性通常是并聯(lián)正剛度與負(fù)剛度機(jī)構(gòu).準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的經(jīng)典設(shè)計(jì)形式是用兩根對(duì)稱傾斜的彈簧和豎直線性彈簧組合來實(shí)現(xiàn)[1-2，6].其他的形式包括周加喜等[7]利用4根斜彈簧和一根豎直彈簧組合.徐道臨等[8]采用氣動(dòng)式可調(diào)彈簧來設(shè)計(jì)QZS系統(tǒng).Platus等[9]利用彈簧和受軸壓的梁進(jìn)行組合設(shè)計(jì).使用正倒擺并聯(lián)[10];利用具有軟彈簧特性的高度變形的擠壓環(huán)[11-12].Carrella等[13-15]使用磁力彈簧的特性來設(shè)計(jì)QZS系統(tǒng).徐道臨等[16]使用磁性彈簧制作QZS系統(tǒng)，并用試驗(yàn)證明其具有良好的低頻隔振效果.

　　綜合以上隔振器的設(shè)計(jì)特點(diǎn)，本文提出一種新穎的QZS隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，該QZS隔振系統(tǒng)由一塊屈曲的彈簧鋼板(負(fù)剛度)和一塊豎直橡膠墊(正剛度)組成.另外，屈曲的彈簧鋼板和橡膠墊之間裝配簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)緊湊，可調(diào)節(jié)，使用方便.

　　本文將給出該新型隔振系統(tǒng)的詳細(xì)設(shè)計(jì)方案.首先，基于Abaqus軟件分析和Matlab仿真，給出QZS隔振系統(tǒng)力與位移的近似表達(dá)式與系統(tǒng)的剛度曲線.其次，通過理論計(jì)算，找出系統(tǒng)準(zhǔn)零剛度的特性出現(xiàn)時(shí)，豎直橡膠墊需滿足的關(guān)系.最后，利用諧波平衡法，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，給出力傳遞率近似解析表達(dá)式，根據(jù)阻尼比對(duì)傳遞率的影響，評(píng)估系統(tǒng)的隔振性能. 　　1準(zhǔn)零剛度隔振器模型

　　通常情況下，QZS系統(tǒng)特性的實(shí)現(xiàn)是通過把正剛度單元和負(fù)剛度單元并聯(lián)起來.本文將屈曲的彈簧鋼板和豎直橡膠墊組合，設(shè)計(jì)一款新型準(zhǔn)零剛度隔振器，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(不考慮被隔振設(shè)備)所示.

　　圖1描述的是準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在A點(diǎn)，一塊剛度系數(shù)為k的無壓縮豎直橡膠墊與一塊屈曲的彈簧鋼板相連接.x表示被隔振設(shè)備從A點(diǎn)開始在豎直方向上所產(chǎn)生的位移.當(dāng)被隔振設(shè)備置于A點(diǎn)時(shí)，豎直的橡膠墊被壓縮，屈曲的彈簧鋼板向下產(chǎn)生位移.通過合理參數(shù)設(shè)計(jì)，在質(zhì)量塊的靜載作用下，當(dāng)A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，位移為x=h時(shí)，B點(diǎn)就是該準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的靜平衡位置.此時(shí)，屈曲的彈簧鋼板面處于水平狀態(tài).在這種情況下，被隔振設(shè)備的質(zhì)量完全由豎直橡膠墊所支撐.此時(shí)，屈曲的彈簧鋼板在垂直方向上提供負(fù)剛度，而豎直橡膠墊則提供正剛度，兩者屬于并聯(lián)關(guān)系.本文研究的重點(diǎn)是被隔振設(shè)備在靜平衡位置附近的微幅振動(dòng)情況.

　　根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，建立其在靜載(被隔振設(shè)備)作用下處于平衡位置的實(shí)驗(yàn)裝置模型圖，如圖2所示.屈曲的彈簧鋼板上面放置著被隔振設(shè)備，其中鋼板的周邊被限制在一個(gè)調(diào)節(jié)箍環(huán)里，調(diào)節(jié)箍環(huán)放置在帶有凹槽的底座上.調(diào)節(jié)箍環(huán)的作用是調(diào)節(jié)鋼板的屈曲量大小.豎直的橡膠墊直接與鋼板接觸，并且下面連接著推力球軸承和調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu).底部調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)可以調(diào)節(jié)橡膠的預(yù)壓量，以便實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度條件.推力球軸承是為了減小調(diào)節(jié)的阻力.

　　1.1屈曲鋼板的Abaqus分析

　　考慮圖1所示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，將中間的豎直橡膠墊移去，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板(負(fù)剛度單元)的力學(xué)特性.符號(hào)h代表屈曲后的鋼板在初始狀態(tài)時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的垂直距離.為了探索鋼板屈曲后的載荷與位移關(guān)系，設(shè)置鋼板的初始缺陷位移為0.2 mm，并將鋼板的周邊進(jìn)行固定，加溫度場(chǎng)使鋼板屈曲，再給屈曲后的鋼板逐漸施加位移約束x，直至鋼板達(dá)到另一個(gè)屈曲的穩(wěn)態(tài)，在此過程中記錄約束力載荷f的變化情況.因此，可以得到約束力載荷f與位移x的關(guān)系曲線圖，進(jìn)一步求導(dǎo)得出屈曲鋼板的剛度曲線圖.屈曲鋼板的力與位移的關(guān)系曲線如圖3所示，剛度曲線如圖4所示.

　　從圖3和圖4中可以看到，彈簧鋼板屈曲之后，施加一個(gè)載荷，使之從一個(gè)屈曲穩(wěn)態(tài)跳到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)時(shí)，屈曲的鋼板出現(xiàn)了負(fù)剛度的特性.

　　1.2屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的Abaqus分析

　　同時(shí)考慮豎直橡膠墊的正剛度和屈曲鋼板的負(fù)剛度作用，如圖1所示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的力學(xué)特性.同樣設(shè)置鋼板的初始缺陷為0.2 mm，加溫度場(chǎng)使鋼板屈曲，此時(shí)給準(zhǔn)零系統(tǒng)施加一個(gè)垂向力，選擇適當(dāng)彈性材料的橡膠墊，使得屈曲鋼板呈水平狀態(tài)時(shí)，力與位移的關(guān)系曲線出現(xiàn)水平拐點(diǎn)，如圖 5所示.這個(gè)拐點(diǎn)就是準(zhǔn)零系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的垂向力是產(chǎn)生準(zhǔn)零條件的額定靜載荷，在平衡點(diǎn)的系統(tǒng)剛度近似為零，如圖6所示.

　　由圖5和圖6 可知，當(dāng)給屈曲鋼板并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)?shù)呢Q直橡膠墊時(shí)，屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)在平衡態(tài)會(huì)出現(xiàn)零剛度的特性，我們通常稱這個(gè)位置為系統(tǒng)的平衡位置.在平衡位置附近振動(dòng)，系統(tǒng)始終表現(xiàn)出微剛度的特性.出現(xiàn)這種特性的原因是豎直橡膠提供的正剛度與屈曲鋼板產(chǎn)生的負(fù)剛度在平衡位置剛好抵消.

　　1.3力與位移關(guān)系近似表達(dá)式

　　為了方便后續(xù)的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，必須得到屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線(圖5)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.通過Abaqus中分析出來的QZS系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線圖，假設(shè)一個(gè)冪級(jí)數(shù)函數(shù)，采用最小二乘擬合法，通過Matlab擬合出準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移的表達(dá)式為：

　　f=7.5×1010y3+3.2×107y2+1.2×104y-16 200.(1)

　　式中：y=x-h，y為系統(tǒng)的位移;f為系統(tǒng)的受力.

　　圖7給出了Abaqus分析數(shù)據(jù)和Matlab最佳擬合曲線.由圖7可知，分析數(shù)據(jù)和最佳擬合曲線吻合得非常好，式(1)滿足工程設(shè)計(jì)精度.

　　1.4準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的剛度

　　由圖6的曲線趨勢(shì)可知，屈曲板準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的剛度曲線可以用一個(gè)二次多項(xiàng)式來近似表達(dá).通過導(dǎo)數(shù)概念可以知道，如果屈曲板準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力與位移關(guān)系能表示成一個(gè)三次多項(xiàng)式，那么QZS系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析將會(huì)變得容易很多.因此，可以將QZS系統(tǒng)力與位移的關(guān)系曲線經(jīng)過縱坐標(biāo)平移，采用最小二乘擬合法，擬合成一個(gè)三次多項(xiàng)式如下：

　　f=7.56×1010y3.(2)

　　圖8給出了QZS系統(tǒng)力與位移關(guān)系的三次方最佳擬合曲線.由圖8可知，力與位移關(guān)系和三次方最佳擬合曲線也吻合得比較好，滿足工程設(shè)計(jì)精度.

　　那么，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的剛度近似表達(dá)式為：

　　KQZS=dfdy=2.27×1011y2.(3)

　　式(3)中只有y的平方項(xiàng)，故在進(jìn)行后續(xù)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)剛度的解析表達(dá)式可以用近似表達(dá)式來替代，這樣大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.

　　2動(dòng)力學(xué)分析

　　2.1準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

　　從前面的分析可知，QZS在其靜平衡位置附近剛度趨近于零.為了保證質(zhì)量為m的被隔振設(shè)備放于QZS系統(tǒng)上時(shí)，系統(tǒng)處于平衡位置，即鋼板壓至水平狀態(tài).此時(shí)，被隔振質(zhì)量完全由被壓縮的豎直橡膠墊支撐，被隔振設(shè)備質(zhì)量m要滿足條件：

　　f=kh=mgm=kh/g.(4)

　　式中：k為豎直橡膠墊的剛度.

　　準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)包括被隔振設(shè)備，屈曲彈簧鋼板和豎直橡膠墊.當(dāng)在被隔振設(shè)備上作用一個(gè)幅值大小為f0的激擾力時(shí)，可以進(jìn)行如下3個(gè)假設(shè)：1)系統(tǒng)的回復(fù)力表達(dá)式可以用邁克勞林級(jí)數(shù)的3階進(jìn)行展開;2)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)具有零動(dòng)剛度的特性;3)被隔振設(shè)備始終在平衡位置附近進(jìn)行微幅振動(dòng).因此，在簡(jiǎn)諧波激擾力的作用下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以近似寫成不含線性項(xiàng)的達(dá)芬方程.進(jìn)行無量綱化后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為： 　　¨+2ζ・+γ3=cos (Ωτ).(5)

　　=y/r，ω20=k/m，τ=ω0t，γ=ar2/k，

　　ζ=cω0/2k，Ω=ω/ω0，=f0/kr，

　　式中：y為系統(tǒng)的位移;r為屈曲板的半徑;c為系統(tǒng)的阻尼;m為被隔振質(zhì)量;f0為簡(jiǎn)諧激勵(lì)的幅值;ω0為簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率;k為豎直橡膠墊的剛度;a為力與位移三次方關(guān)系曲線系數(shù).

　　諧波平衡法在求解強(qiáng)非線性方程時(shí)具有適用性和簡(jiǎn)單性等優(yōu)點(diǎn)[17].因此，在本文中，我們運(yùn)用諧波平衡法[18]對(duì)式(5)在激擾頻率時(shí)的響應(yīng)進(jìn)行求解.用單諧波平衡法來求解非線性振動(dòng)方程在大部分情況下是可行的，在國際上也是通用的[1，2，6，19]，只在小部分情況下會(huì)產(chǎn)生較大誤差.本文假設(shè)外界激擾頻率在系統(tǒng)的響應(yīng)頻率中占主導(dǎo)地位，那么可以將式(5)的解設(shè)為=Acos (Ωτ+j)，因此系統(tǒng)的幅頻曲線方程為：

　　(2ζΩA)2+(34γA3-Ω2A)2=2.(6)

　　根據(jù)文獻(xiàn)[19]的方法，得出系統(tǒng)的向下跳躍頻率Ωd為：

　　Ωd=(3γ16)1/4ζ.(7)

　　激振力的幅值為，傳遞至基礎(chǔ)的力為：

　　ft=γ3+2ζ・=γA3cos 3(Ωτ+j)-

　　2ζΩAsin (Ωτ+j). (8)

　　那么該傳遞力幅值應(yīng)為：

　　Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6.(9)

　　傳遞至基座的力幅值與激擾力幅值的比值稱為力的傳遞率.所以，可以將力的傳遞率近似表示為：

　　T=Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6/.(10)

　　從式(10)可以看出，QZS的傳遞率隨著阻尼比ζ的變化而變化.下面將以數(shù)值仿真的形式來展現(xiàn)阻尼比對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響.

　　阻尼比ζ對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響趨勢(shì)如圖9所示.從圖中可以清楚地看到，阻尼比對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)衰減性能很敏感.當(dāng)阻尼比ζ=0.005時(shí)，傳遞率曲線在很大程度上向右彎曲，這表明阻尼比過小時(shí)衰減結(jié)果并不理想.當(dāng)阻尼比ζ=0.01時(shí)，共振區(qū)附近的振動(dòng)顯著減小，衰減頻域被拓寬，但是高頻區(qū)的衰減效果變差. 當(dāng)阻尼比ζ=0.1時(shí)，共振峰完全消失，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)不會(huì)像線性系統(tǒng)那樣經(jīng)歷共振問題，這是該系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn).

　　圖9當(dāng)γ=5.3，=0.01時(shí)，

　　阻尼比ζ對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響

　　Fig.9The magnitude of the force transmissibility

　　forγ=5.3，=0.01 and different values ofζ

　　2.2準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)隔振特性

　　為了體現(xiàn)QZS隔振系統(tǒng)的隔振特性，可以將之與線性系統(tǒng)的隔振性能進(jìn)行對(duì)比.假設(shè)QZS隔振系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)滿足式(4)，兩種系統(tǒng)的被隔振設(shè)備的質(zhì)量相同.從式(10)可知，QZS隔振系統(tǒng)的傳遞率與系統(tǒng)參數(shù)γ成正比，γ的值越小，QZS隔振系統(tǒng)的傳遞率就越小，隔振效果越顯著.當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率大于向下跳躍頻率，即Ωd<1時(shí)，由于向下跳躍頻率是QZS隔振系統(tǒng)起始減振的頻率，所以，此時(shí)QZS隔振系統(tǒng)的隔振性能是優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)的，外界激擾力幅值大小應(yīng)滿足下式：

　　<4ζ3γ.(11)

　　圖10為QZS系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的傳遞率比較圖.從圖中我們可以比較線性系統(tǒng)與準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果.假設(shè)系統(tǒng)的阻尼比ζ=0.01，無量綱的激擾力為=0.01，被隔振設(shè)備質(zhì)量m=10.從圖10中我們可以清楚地看出 QZS隔振系統(tǒng)的隔振頻帶大大寬于線性隔振系統(tǒng)，QZS隔振系統(tǒng)的隔振效果明顯優(yōu)于線性系統(tǒng).

　　線性隔振系統(tǒng)開始減振，必須在外界激擾頻率大于2倍固有頻率的情況下.但對(duì)于非線性隔振系統(tǒng)，只需在外界激擾頻率大于跳躍頻率之后，即可產(chǎn)生減振效果.在相同的外界激擾力的作用下，線性系統(tǒng)的固有頻率要高于QZS隔振系統(tǒng)的跳躍頻率.只要激振力的大小滿足不等式(11)，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)都優(yōu)越于線性系統(tǒng).只要增大阻尼比系數(shù)ζ、減小激擾力幅值大小、減小非線性項(xiàng)系數(shù)γ，均可以使QZS系統(tǒng)的向下跳躍頻率Ωd減小，且使其遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性隔振系統(tǒng)的固有頻率，從而大大拓寬了減振頻帶，實(shí)現(xiàn)了低頻隔振.

　　3結(jié)論

　　本文針對(duì)低頻隔振，采用一種屈曲彈簧鋼板的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與橡膠墊正剛度機(jī)構(gòu)組合，設(shè)計(jì)了一種屈曲板準(zhǔn)零剛度非線性隔振器.這種隔振器的特點(diǎn)是在靜平衡位置附近具有高靜低動(dòng)剛度特性.通過Abaqus分析和Matlab擬合得到了準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系表達(dá)式，從而求出了系統(tǒng)各參數(shù)之間與豎直橡膠墊的剛度系數(shù)的關(guān)系.通過Matlab數(shù)值仿真，詳細(xì)地分析了該QZS系統(tǒng)的隔振特性，并與線性隔振系統(tǒng)進(jìn)行了力傳遞率的比較.屈曲板準(zhǔn)零剛度非線性隔振器相對(duì)于線性隔振系統(tǒng)具有2個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)：1)能夠顯著提高低頻段的隔振效率;2)在適當(dāng)小阻尼下，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)沒有共振問題.

　　參考文獻(xiàn)

　　[1]CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P.Static analysis of a passive vibration isolator with quasizerostiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2007，301(3/5)：678-689.

　　[2]KOVACIC I，BRENNAN M J，WATERS T P.A study of a nonlinear vibration isolator with a quasizero stiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2008，315(3)：700-711.

　　[3]RIVIN E I.Passive vibration isolation[M]. New York：ASME Press，2001：100-105. 　　[4]HARRIS C M，PIERSOL A G.Shock and vibrations handbook[M]. New York：McGraw Hill，2002：85-90.

　　[5]IBRAHIM R A.Recent advances in nonlinear passive vibration isolators[J].Journal of Sound and Vibration，2008， 314(3/5)：371-452.

　　[6]CARRELLA A，BRENNAN M J，KOVACICB I，et al.On the force transmissibility of a vibration isolator with quasizerostiffness[J].Journal of Sound and Vibration，2009，322(4/5)：707-717.

　　[7]周加喜，張?jiān)掠ⅲ�徐道臨. 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性[J].中國科技論文在線，2013.

　　ZHOU Jiaxi，ZHANG Yueying，XU Daolin. On nonlinear dynamics of the quasizero stiffness vibration isolation system[J].Sciencepaper Online，2013.(In Chinese)

　　[8]徐道臨，趙智，周加喜. 氣動(dòng)式可調(diào)準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計(jì)及特性分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，40(6)：47-52.