摘要：本文在雙足被動(dòng)步行動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，首先介紹一種比較常見離散映射系統(tǒng)的不穩(wěn)定流形的數(shù)值計(jì)算方法，選取了一種計(jì)算速度快及精度高的數(shù)值計(jì)算方法，并將該算法應(yīng)用到雙足被動(dòng)步行的不穩(wěn)定流形計(jì)算中，計(jì)算與分析了在力學(xué)參數(shù)影響下的雙足被動(dòng)步行模型的不穩(wěn)定流形，從而運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真雙足被動(dòng)步行模型的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形的直觀圖，為進(jìn)一步研究雙擺系的混沌動(dòng)態(tài)行為奠定了基礎(chǔ)。
　　關(guān)鍵詞：雙足被動(dòng)步行，不穩(wěn)定流形，同宿或異宿柵欄；
　　
　　1引言
　　雙足被動(dòng)步行模型在擺動(dòng)和碰撞過程是雙擺運(yùn)動(dòng)，雙足被動(dòng)步行模型是步行機(jī)器人領(lǐng)域一個(gè)新的飛躍[7]，它以簡單、節(jié)能等獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)成為了很多學(xué)者的關(guān)注。根據(jù)雙足被動(dòng)步行中自由度的數(shù)目，其中主要研究兩個(gè)自由度被動(dòng)步行模型，因此，雙足被動(dòng)步行模型被看作為一種雙足被動(dòng)步行[5]。
　　雙足被動(dòng)步行中的混沌行為是一種不僅有趣且有重要意義的現(xiàn)象。
　　2離散映射系統(tǒng)的不穩(wěn)定流形的數(shù)值計(jì)算方法
　　增長流形算法的基本思想是:從最初始線段起，按照不穩(wěn)定流形上的點(diǎn)的像和原像的增長比例[2]，此算法生成上的一系列點(diǎn)，流形軌跡自身被連續(xù)點(diǎn)之間的線段的線性分段內(nèi)插于近似。開始在周圍附近選擇一點(diǎn)，使該點(diǎn)位于的線性近似上。初始序列就是。在計(jì)算新點(diǎn)的每步中，都在序列中增加一個(gè)上的點(diǎn)。為了到達(dá)滿足的要求，首先依據(jù)數(shù)值點(diǎn)附近的曲率找到理想的步長，當(dāng)前點(diǎn)與新點(diǎn)兩者相距。然后，在某個(gè)線段上尋找到新點(diǎn)的原像。
　　因?yàn)椴环�(wěn)定流形是大量離散的點(diǎn)組成，設(shè)這些點(diǎn)的集合為。該算法的基本思想是按像和原像的增長比例擴(kuò)張流形[1]，如果想得到該增長比例至少需要獲得中的兩個(gè)點(diǎn)[2]，那么在的足夠小的鄰域內(nèi)選取點(diǎn)、，令，與的距離要按照映射的特點(diǎn)選擇，通常依靠經(jīng)驗(yàn)來確定。、，則不穩(wěn)定流形的初始近似為。執(zhí)行該算法需要的初始步長為，原像步長為，增長比為。根據(jù)該增長比即可循環(huán)計(jì)算中后面的點(diǎn)。在計(jì)算中，為了應(yīng)用此算法，保存了中點(diǎn)的信息，其包括：
　　：點(diǎn)的坐標(biāo)位置；
　　：從初始點(diǎn)出發(fā)，沿該軌線經(jīng)歷的長度；
　　：點(diǎn)的原像的坐標(biāo)位置；
　　：從初始點(diǎn)出發(fā)，沿該軌線經(jīng)歷的長度；
　　：點(diǎn)所處線段的后一點(diǎn)坐標(biāo)序號。
　　設(shè)已經(jīng)計(jì)算出的前個(gè)點(diǎn)，即當(dāng)前，現(xiàn)在需要沿不穩(wěn)定流形計(jì)算后面處的。設(shè)的步長為，的原像的步長為。如圖1所示，，，。處的增長比例為。根據(jù)該增長比例，可判斷后面的的步長為，所以。而所處線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，所以，我們可按照(1)式計(jì)算的坐標(biāo)。再將進(jìn)行映射得到新點(diǎn)坐標(biāo)為，然后修正處的步長為。
　　（1）
　　
　　圖1計(jì)算的下一點(diǎn)
　　如果步長有可能過大，那么軌線上急速彎折的部分可能被漏掉，如果步長也有可能過小，那么計(jì)算得出很多無用的點(diǎn)，算法的計(jì)算速度及效率很低。因此，通過附近流形的彎曲程度來判斷步長是否合適。如圖2所示，在點(diǎn)附近的彎曲程度可用向量和
　　的夾角度量。因?yàn)?br /> 　　，而當(dāng)很小時(shí)，近似有，所以可按照(2)式計(jì)算。
　　（2）
　　充分利用夾角可以控制的大小，如（3)式所示，如果滿足此條件，那么可在一定范圍內(nèi)將限制。如果和大于最大值，那么說明過大，則將減半再次重新計(jì)算，如果和小于最小值，說明過小，則將增倍再次重新計(jì)算。只有控制的大小，才能有效控制局部內(nèi)插誤差，且保證算法的高效性和精確度。
　　(3)
　　
　　圖2向量和形成的夾角
　　如果滿足要求，則保存的信息：、、、、，將該點(diǎn)加入中。像這樣繼續(xù)循環(huán)計(jì)算下去，直到達(dá)到不穩(wěn)定流形長度要求為止。
　　3.計(jì)算流形應(yīng)用實(shí)例
　　對于任意自治系統(tǒng)，
　　（4）
　　這里。若取為本系統(tǒng)的Poincaré截面，那么相應(yīng)Poincaré映射可定義為：對于任意，表示從出發(fā)在系統(tǒng)的作用下再次回到時(shí)的交點(diǎn)。
　　雙足被動(dòng)步行模型動(dòng)力學(xué)行為可由以下切換系統(tǒng)來描述：
　　（5）
　　其中k表示斜坡的傾角。這里的切換流形是：
　　(6)
　　切換函數(shù)為：
　　(7)如果軌線一旦到達(dá)切換流形，系統(tǒng)狀態(tài)立即通過切換函數(shù)跳轉(zhuǎn)到新的初始狀態(tài)繼續(xù)運(yùn)行計(jì)算。為了處理兩個(gè)系統(tǒng)的不連續(xù)性，采取切換流形作為系統(tǒng)Poincaré截面。由于本混合系統(tǒng)由時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)(4)和切換函數(shù)(7)組成，所以，只要研究相應(yīng)Poincaré映射和切換函數(shù)的復(fù)合映射，得到了二維離散映射系統(tǒng)具體表達(dá)式，Poincaré映射通過數(shù)值計(jì)算方法得到。
　　為利用上述算法進(jìn)行計(jì)算，
　　令，于是得到：
　　（8）和（9）
　　而切換函數(shù)變?yōu)?br /> 　　，.（10）
　　因此，我們有
　　（11）
　　顯然，計(jì)算的關(guān)鍵是計(jì)算Poincaré映射。仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)的取值僅由和分量決定，和均位于上，即其第二坐標(biāo)分量僅由決定，并且
　　，
　　因此在選擇初值時(shí)，只要其和分量滿足
　　，（12）
　　那么復(fù)合映射就可被看作是平面的映射。
　　為比較和驗(yàn)證上述一維流形算法的速度和精度，選取k=0.009。這時(shí)存在一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)：
　　計(jì)算出該映射一維穩(wěn)定流形和一位不穩(wěn)定流形直觀圖，如圖4,5所示，通過此算法，還計(jì)算與仿真出不穩(wěn)定流形和穩(wěn)定流形存在橫截相交一點(diǎn)，如圖6所示。因此，如果不斷繼續(xù)迭代下出，那么存在不穩(wěn)定流形和穩(wěn)定流形之間無窮多次纏結(jié)，會導(dǎo)致同宿混亂，即橫截柵欄效應(yīng)，從而蘊(yùn)含很多復(fù)雜動(dòng)態(tài)的混沌動(dòng)力學(xué)行為。
　　
　　圖4當(dāng)時(shí)，雙足被動(dòng)步行的穩(wěn)定流形

　　圖5當(dāng)時(shí)，雙足被動(dòng)步行的不穩(wěn)定流形

　　圖6當(dāng)時(shí)，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形局部橫截相交
　　4結(jié)論
　　本文以一種增長流形的算法思想為基礎(chǔ)，計(jì)算和分析雙足被動(dòng)步行模型的動(dòng)力學(xué)混沌行為。相對于其他不穩(wěn)定流形算法而言，該算法能顯著提高了流形計(jì)算速度和精度，減少計(jì)算誤差。該算法對最簡單的雙足被動(dòng)步行模型進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算該系統(tǒng)不穩(wěn)定流形和穩(wěn)定流形，發(fā)現(xiàn)了一維不穩(wěn)定流形和穩(wěn)定流形橫截相交，從而為雙足被動(dòng)步行的進(jìn)一步研究打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，可能蘊(yùn)含吸引子和周期解得動(dòng)力學(xué)混沌行為特征。
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